度序列可图性判断(Havel-Hakimi定理)


Havel定理描述

给定一个非负整数序列{d1,d2,…dn},若存在一个无向图使得图中各点的度与此序列一一对应,则称此序列可图化。进一步,若图为简单图,则称此序列可简单图化。

可图化的判定比较简单:

  1. $d_1 + d_2 + d_3 +…+d_n = 0(mod2)$
  2. $n-1\geq d_{max}$

关于具体图的构造,我们可以简单地把奇数度的点配对,剩下的全部搞成自环。

可简单图化的判定,有一个Havel定理,是说: 我们把序列排成不增序,即d1>=d2>=…>=dn,则d可简单图化当且仅当d’=(d2-1, d3-1, … d(d1+1)-1, d(d1+2), d(d1+3), … dn)可简单图化。这个定理写起来麻烦,实际上就是说,我们把d排序以后,找出度最大的点(设度为d1),把它和度次大的d1个点之间连边,然后这个点就可以不管了,一直继续这个过程,直到建出完整的图,或出现负度等明显不合理的情况。


演示

给出序列序列:

4 7 7 3 3 3 2 1

降序排序

7 7 4 3 3 3 2 1

删除第一个数字7,将其后7个数都减去1,并重新排序

6 3 2 2 2 1 0

重复步骤

2 1 1 1 0 -1

发现有负数,则这个序列不能组成简单图


再给出

5 4 3 3 2 2 2 1 1 1

删除数字5,将其后5个数都减去1,并重新排序

3 2 2 2 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 0

…以此类推,直至

0 0 0

所以可以组成简单图


参考资料及习题

Havel-Hakimi定理
HDOJ2454 Degree Sequence of Graph G

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